Program Linear

Nama  : M. Rizqon Daffa
Kelas   : X-Multimedia
Tugas  : Remedial Matematika tentang program linear bab 4

Pengertian Program Linear

Program linear yaitu pemecahan masalah untuk menentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi linear yang dibatasi oleh grafik linear dengan memperhatikan syarat-syarat yang berlaku. Penggunaan program linear pada kehidupan sehari-hari misalkan memaksimalkan keuntungan suatu perusahaan. Contoh lainnya yaitu meminimalkan pengeluaran suatu perusahaan.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear yang variabelnya saling berkaitan. Adapun bentuk umum dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu ax + by < c untuk tanda dapat berupa <, >, ≤, ≥. Biasanya variabel yang digunakan dalam pertidaksamaan yaitu x dan y.

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Dalam menyelesaikan pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel maka dapat diselesaikan dengan cara menentukan daerah penyelesainnya. Daerah penyelesaian yang akan digambar merupakan daerah himpunan yang merupakan titik (x, y) yang merupakan anggota himpunan penyelesaiannya. Untuk lebih jelasnya langsung dengan contoh soal, simak penjelasannya dibawah ini.


Contoh 

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0,
y ≥ 0

Jawab :

Langkah pertama buat persamaan x + 2y = 10

Buatlah dengan dua titik bantu

Misalkan x = 0, untuk x + 2y =10 maka 2y = 10 dan y = 5

Misalkan y = 0 , untuk x + 2y = 10 maka x = 10

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

x + 2y ≤ 10 , maka 0 + 2(0) ≤ 10

Maka berdasarkan pengujian diatas, daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pada sistem pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear variabel diatas digambarkan seperti gambar disamping.

Nilai Optimum

Untuk menentukan nilai optimum maka kita harus menentukan terlebih dahulu daerah penyelesaian pertidaksamaan linear, dengan begitu untuk mencari nilai optimum dapat menjadi lebih mudah. Langkah-langkah yang harus dikerjakan ketika menentukan nilai optimum diantaranya sebagai berikut :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear
2. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan yang ditanyakan
3. Tentukan titik-titik pojok daru daerah penyelesaian yang telah ditemukan
4. Setelah mengerjakan ketiga langkah itu, tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian tersebut lalu bandingkan hasil subtitusi titik-titik pojok dengan fungsi yang ditentukan dengan model matika.

Contoh :

Toko bahagia menjual peralatan alat tulis, harga sebuah buku Rp.5.000 dan sebuah puplen Rp.2.500. Pemilik toko tersebut mempunyai modal 250.000 dan toko tersebut hanya mampu menampung hingga 50 buah. Tentukan model matematika untuk mendapatkan keuntungan jika laba dari 1 buah buku 1.000 dan dari pulpen 500?

Jawab :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear tersebut

Misalkan buku = x dan pulpen = y, maka

Fungsi Kendala

5000x + 2500y  ≤ 250000

2x + y  ≤ 100

x + y  ≤ 50

Fungsi Objektif

1000x + 500y

1. Tentukan daerah penyelesaian

Untuk menentukan daerah penyelesaian dapat ditentukan sama seperti pembahasan diatas

Ubah menjadi bentuk persamaan 2x + y = 100 ; x + y = 50

Buatlah dengan dua titik bantu

2x + y = 100

Misalkan x = 0, untuk 2x + y = 100 maka y = 100

Misalkan y = 0 , untuk 2x + y = 100 maka 2x = 100 dan x = 50

maka (x, y) yaitu (0, 100) (50, 0)

x + y = 50

maka (x, y) yaitu (0, 50) (50, 0)

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.                       Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0).

Contoh-Contoh Soal

1. 

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. 
  

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah….
A . 88
B. 94
C. 102
D. 106
E. 196

Pembahasan :
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:
Cara pertama dalam membuat persamaan garis

y − y₁ = m (x − x₁)

dengan

m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan garis

bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ –
3y = 30
y = 10 
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y
Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

2. Seorang pedagang buah-buahan menjual apel dengan modal sebesar Rp. 2.400.000,00. Dia menjual dengan menggunakan gerobak yang dapat menamapung buah-buahan sebanyak 180 kg, Harga beli apel Rp 15.000,00 per kg dan harga jualnya Rp 18.000,00 per kg. Sedangkan jeruk dibeli dengan harga Rp. 12.000,00 per kg dan dijual Rp. 14.000,00. Jika barang terjual semua, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut ad(A) Rp. 320.000,00(B) Rp. 360.000,00(C) Rp. 420.000,00(D) Rp. 440.000,00(E) Rp. 480.000,00

Jawaban :(D) Rp. 440.000,00
Pembahasan :Model matematika  + y < 18015.000x + 12.000y < 2.400.000x > 0x > 0
z = (18.000 – 15.000)x + (14.000 – 12.000)yz = 3.000x + 2000y
Untuk mencari keuntungan maksimumnya dilakukan dengan cara mencari titik potong antara  x + y = 180 dan 15.000x + 12.000y = 2.400.000.
Sederhanakan bentuk 0 + y = 180
15.000x + 12.000y = 2.400.000
Maka menjadi 0 + y = 180
15x + 12y = 2.400x + y = 180
5x + 4y = 800
Untuk mencari x kalikan  x + y = 180 dengan 4, maka(x + y = 180)x 4
5x + 4y = 800
4x + 4y = 720
5x + 4y = 800
Kemudian kurangi 5x + 4y = 800 dengan 4x + 4y = 720, maka :5x + 4y = 800
4x + 4y = 720 –
x = 80
kemudian substitusikan x = 80 ke persamaan x + y = 180, maka 0 + y = 180
80 + y = 180
y = 180 – 80
y = 100 Titik potongnya adalah (80, 100)
Maka Keuntungan maksimum terletak ada pada titik potong garis x + y = 180 dan 15.000x + 12.000y = 2.400.000 adalah koordinat (80, 100)Maka besar keuntungan nya adalah :z = 3000(80) + 2000(100)z = 240.000 + 200.000z = 440.000.

3.Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah ….

A.   Rp176.000,00
B.   Rp200.000,00
C.   Rp260.000,00
D.   Rp300.000,00
E.   Rp340.000,00

Tabel bantuan untuk soal di atas:

Mobil Kecil (x)
Mobil Besar (y)
200
Luas Parkir
4
1
20
5
1.760
440
Biaya Parkir
1.000
2.000
?

Model matematika berdasarkan tabel bantuan tersebut adalah:

x + y = 200    … (1)
x + 5y = 440  … (2)
z = 1.000x + 2.000y

Eliminasi persamaan (2) dan (1) diperoleh:

x + 5y = 440
x +   y = 200
—————— −
4y = 240
y = 60

Kemudian kita substitusikan y = 60 ke persamaan (1).

x + y = 200
x + 60 = 200
x = 140

Dengan demikian nilai z adalah:

z = 1.000x + 2.000y
= 1.000 × 140 + 2.000 × 60
= 140.000 + 120.000
= 260.000

4. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah….A. Rp 176.000,00

B. Rp 200.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 300.000,00
E. Rp 340.000,00 

mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.
Luas parkir 1760 m2:
4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi
x + 5y ≤ 440…….(Garis I)
Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:
x + y ≤ 200 …………..(Garis II)
Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:
f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2

Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,Garis 1
x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 5(0) = 440
x = 440
Dapat titik (440, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + 5y = 440
y = 440/5 = 88
Dapat titik (0, 88)Garis 2
x + y = 200
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 0 = 200
x = 200
Dapat titik (200, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + y = 200
y = 200
Dapat titik (0, 200)
Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.
x + 5y = 440
x + y = 200
____________ _
4y = 240
y = 60
x + y =200
x + 60 = 200
x = 140
Titik potong kedua garis aalah (140, 60)
Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah  ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0
Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000
Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000
Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000 5.Luas daerah parkir 

. Luas rata-rata sebuah mobil 

 dan luas rata-rata bus 

5.Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …. (Soal Ujian Nasional)

A.     Rp40.000,00
B.     Rp50.000,00
C.     Rp60.000,00
D.     Rp75.000,00
E.     Rp90.000,00

Pembahasan:

Misalkan:

x = banyak mobil
y = banyak bus

Perhatikan tabel di bawah!

Diperoleh dua persamaan:

Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:

Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x.

Koordinat titik B adalah (20, 10)

6.  Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….

A.     Rp2.000.000,00
B.     Rp2.300.000,00
C.     Rp2.200.000,00
D.     Rp2.100.000,00
E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan:

Pemisalan:

x = banyak payung A
y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan

Fungsi kendala:

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimim akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50). Sehingga, biaya produksi minimum adalah

Jawaban: B

7.Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah… 

A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35

Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu:
2x + y = 7
x + y = 5
———— −
x = 2
y = 3
Dapat titik A (2, 3)
Berikut grafik selengkapnya: 

Uji titik
f(x, y) = 4x + 5y
A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23
B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20
C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35
Terlihat nilai minimumnya adalah 20.

8. Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…

A. Rp102.000,00
B. Rp96.000,00
C. Rp95.000,00
D. Rp92.000,00
E. Rp86.000,00
Pembahasan
Gorengan jadi x, bakwan jadi y

Modelnya:
1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i)
(i) 10x + 4y ≤ 2500
(ii) x + y ≤ 400
f(x,y) = 300x + 200y 

Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing: 

9. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram terpung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah… 

A. Rp600.000,00 
B. Rp650.000,00
C. Rp700.000,00 
D. Rp750.000,00 
E. Rp800.000,00 

PEMBAHASAN :

Kue A = x
kue B = y
gula –> 20 x + 20 y ≤ 4000 –>x+y ≤ 200
tepung–> 60 x + 40y ≤ 9.000 –> 3x + 2y ≤ 450
x, y ≥ 0
f(x,y) = 4.000 x + 3000 y

x+ y = 200
x= 0 –> y = 200
y= 0 –> x = 200

3x + 2y = 450
x= 0 –> y = 225 
y = 0 –> x = 150

x+ y= 200
3x+ 2y = 450
eliminasi 
x = 50, y = 150

titik pojok 
(0,200) –> f= 200(3.000) = 600.000
(150,0) –> f= 150(4.000)= 600.000
(50, 150)–> f = 50 (4.000) + 150 (3.000) = 650.000
maksimum = 650.000

10. Seorang pedagang kue akan membuat dua jenis kue. Setiap kue A menggunakan modal Rp2.000,00 dan dijual mempunyai keuntungan Rp1.000,00 per buah, sedang untuk kue B menggunakan modal Rp3.000,00 dan dijual memperoleh keuntungan Rp1.500,00 per buah. Modal yang tersedia adalah Rp1.200.000,00 dan paling banyak hanya dapat membuat 500 kue setiap hari. Jika kue tersebut terjual habis, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang kue tersebut adalah ….

A.   Rp500.000,00
B.   Rp600.000,00
C.   Rp650.000,00
D.   Rp700.000,00
E.   Rp750.000,00

Pembahasan :
Tabel bantuan untuk soal di atas:
Kue A (x)
Kue B (y)
500
Modal
2.000
2
3.000
3
1.200.000
1.200
Keuntungan
1.000
1.500
?

Model matematika yang dapat diperoleh dari tabel bantuan tersebut adalah:

x + y = 500         … (1)
2x + 3y = 1.200  … (2)
z = 1.000x + 1.500y

Mari kita eliminasi persamaan (2) dan (1). Persamaan (1) kita kalikan dengan 2 agar mempunyai koefisien x yang sama dengan persamaan (2).

2x + 3y = 1.200
2x + 2y = 1.000
——————— −
y = 200

Selanjutnya kita substitusikan y = 200 ke persamaan (1).

x + y = 500
x + 200 = 500
x = 500 − 200
= 300

Dengan demikian nilai z adalah:

z = 1.000x + 1.500y
= 1.000 × 300 + 1.500 × 200
= 300.000 + 300.000  = 600.000